両方とも合っています。 これらは発音が似ているので混同しやすいですが、使い方に違いがあります。 「どのように」は「どのようにする」が減った「どのようにする」に語尾「-ゲ」が結合して副詞的に使われる言葉で、「どうしよう」は「どのようにする」という句が減った言葉です。 二つはその意味が違うだけでなく前者は単語で、後者は句なので文章での使われ方も大きく異なります。 「(どのように)」は副詞型活用なので、様々な用言を修飾します。
(1) a。どうしたんだ
b。この仕事をどう処理するの?
反面、「どうしよう」はそれ自体が完結した句なので、述語としては使えても他の用言を修飾することはできません。
(2) a。今、私どうしよう。
b。*このことをどう処理するんだ?
「どうしよう」は「どうしよう」の「蟹」から「ㄱ」が減り、残りの「ㄱ」が前の音節のパッチムになってできた言葉です。 音が[どうしよう]で、「どうしよう」から来た言葉なので、原語の形を生かして「どうしよう」と書くと言えます。
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